Dieses Buch beschäftigt sich mit der Gewinnung von Koordinaten im n-dimensionalen projektiven Raum. Über ein rein synthetisches Vorgehen werden direkt homogene Koordinaten für Punkte und durch duales Vorgehen Koordinaten für (Hyper-) Ebenen gewonnen und die allgemeine Formel für die Inzidenz von Punkt und (Hyper-) Ebene hergeleitet.
Weitere Themen sind Matrixdarstellung von Polaritäten, ...
Does the projective principle of duality play a role in physics? In this book, space and counterspace are developed in terms of the numbers of Geometric Algebra and applied to modern physics. The origin of counterspace reveals to be an absolute spatial quantity with respect to the nature of the physical laws.
Die Platonischen Körper gehören zu den schönsten und mathematisch betrachtet zu den reichhaltigsten Raumgebilden. Ihnen liegt eine Fülle harmonischer Eigenschaften zugrunde, wie sie bei keinen anderen geometrischen Körpern zusammen vorkommen. Anhand vieler Figruen und erläuternder Texte werden die Besonderheiten herausgearbeitet wie etwas die deren vollkommene Symmetrie und die ...
Was man unter Materie versteht, ist nicht so festliegt, wie man allgemein glaubt. Geht man von der Erkenntnistheorie Steiners aus, bei der Subjekt und Objekt gleichwertig berücksichtigt werden, treten an die Stelle von in Raum und Zeit sich bewegenden Materieteilchen allgemeine Geschwindigkeitsstrukturen. Diese zeigen sich auch auf der Subjektseite. Sie werden Ich-Zahlen genannt. Daraus folgt ...
Die drei Grundbegriffe Raum, Zeit und Geschwindigkeit werden vom Standpunkt des realistischen Idealismus erkenntnistheoretisch analysiert. Daraus ergeben sich verschiedene Konsequenzen für die Auffassung der speziellen Relativitätstheorie und damit auch einiger Grundlagen der Quantenelektrodynamik. Erstere hat als Kern eine hyperbolische Kinematik. Der für die Beschreibung von physikalischen ...
Maß, Zahl und Farbe: ein Widerspruch? Einerseits ist die Goethesche Farbenlehre mit ihrer großen Mannigfaltigkeit an qualitativen Beziehungen der Farben ein oft gepflegtes Gebiet, anderseits liegen in der physikalischen Farbenlehre auch quantitativ faßbare Fakten vor (z.B. die Beugung oder die Dispersion, die noch heute mit den üblichen Modellvorstellungen wie z. B. mit elektromagnetischen ...
George Adams unternimmt immer wieder neue Ansätze zur Durcharbeitung und Darstellung fundamentaler Gebilde der synthetischen projektiven Geometrie; es geht ihm dabei vor allem um die Bereitstellung von Grundlagen für eine spirituell erweiterte Naturerkenntnis im Licht der Anthro-posophie Rudolf Steiners. Er legt großen Wert auf die gründliche und lebendige Veranschaulichung der entsprechenden ...
Ausgehend von einer Fragenbeantwortung Rudolf Steiners im Jahre 1920 wurde es unternommen, das im Rahmen anthroposophischer Naturwissenschaft ungelöste Problem überimaginärer Zahlen anzugehen. Der Versuch war hierbei, aus dem Geometrischen, der Raum-Gegenraum-Strahlenraum-Dreiheit, heraus das Problem zu lösen. Es ergab sich, dass Cliffordsche Algebren die nötigen Zusammenhänge liefern.
Diese Schrift enthält eine kurze Auseinandersetzung über die Beziehung von Goetheanismus und synthetischer Geometrie und stellt einige Erkenntnisprobleme der modernen Quantenphysik dar. Dann wird versucht, die Quantenmechanik und die synthetische Geometrie zusammenzubringen mit dem Ziel, mit goetheanistischen und anthroposophischen Gesichtspunkten mathematische Strukturen der modernen Physik, ...
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Primzahlen
Ein mathematischer Zugang zu ihren Qualitäten
Am Beispiel der Primzahlen wird hier vorgeführt, wie ein tiefergehendes mathematisches Studium der Zahlen direkt in deren Wesensqualitäten hineinführt. Insbesondere werden unterschiedliche qualitative Eigenschaften der Primzahlen bis 23 von der Mathematik her sichtbar gemacht.
16,00 €
Geometrische Metamorphosen
Beiträge zu einer geisteswissenschaftlichen Metamorphosenlehre. Gesammelte Aufsätze
Es wird in diesem Band eine Reihe von Aufsätzen wieder veröffentlicht, die als Beiträge von Louis Locher-Ernst zur Metamorphosenlehre betrachtet werden dürfen. Den eigentlich mathematischen Aufsätzen werden dabei im ersten Teil Darstellungen vorangestellt, die sich wesentlich auch an Nichtmathematiker wenden. Sie zeigen, welche allgemeinen Fragen zu den Untersuchungen führten und geben ...
Der Verfasser versucht hier, nach verschiedenen Seiten hin bescheidene kleine Beiträge zu geben für das Finden von Wegen, auf denen der ganze Mensch durch die Mathematik sich mit dem gesamten Geistesleben in Verbindung bringen kann. Er berichtet, wie ein Mathematiker strebte, zu großen führenden Geistern wie J. Kepler, T. Brahe, R. Steiner, J. W. Goethe, Novalis und anderen ein menschliches ...
Die Polareuklidische Geometrie ist im Bereich der starren Körper sicher nicht anwendbar. Aus diesem Grunde wurde sie bisher auch nicht näher in Betracht gezogen. Andererseits liegt die Tatsache vor, dass sie sich innerhalb des mathematischen Schaffens logisch gleichberechtigt zu der Euklidischen Geometrie gesellt. Wäre es wirklich so, dass dieser Polareuklidischen Geometrie kein Naturbereich ...
Die vorliegenden Ausführungen werden sich an Mathematiker und Naturwissenschaftler wie auch an Liebhaber der Geometrie. Deshalb sind auch keine besonderen Fachkenntnisse vorausgesetzt. Mehr Menschen, als man gemeinhin glaubt, haben Sehnsucht nach einer Tätigkeit, deren Art die Bürgschaft dafür liefern kann, dass des Menschen eigentliches Wesen Anteil an einer rein geistigen Welt hat. Das ...
Die Arithmetik bildet die Grundlage der Mathematik, insofern wir von der reinen Geometrie absehen. Sie gehört zu dem Schönsten und Bedeutsamsten, was dem menschlichen Geist zu schaffen gegeben war. Der Verfasser wollte in diesem Lehr- und Übungsbuch eine flüssig zu lesende, gründliche Einführung in die elementare Arithmetik geben. Die Grundbegriffe werden ausführlich erläutert und an ...
Für jeden Mathematiker ist es eine einfache Sache, interessante Bewegungen und Kurvenformen vorzuführen. Aber hier soll es sich nicht darum handeln, bloß interessante Kurven zu studieren, sondern es wird darauf ankommen, wie wir durch das Erleben von Bewegungen und Formen eine bestimmte Art Reinigung des Denkens vornehmen können und wie wir weiterhin arbeiten können an der Ausbildung ...
Noch heute haben Zahlenverhältnisse, wie die musikalischen, oder Größenverhältnisse, wie der «Goldene Schnitt», für viele Menschen etwas ungemein Anziehendes. Es soll hier an den natürlichen Zahlen etwas von ihrem Wesen erlebt werden.
In seinen Darstellungen legte Adams großen Wert auf die gründliche und lebendige Veranschaulichung der entsprechenden Grundgedanken. Um noch tiefer in die Gesetzmäßigkeiten der elliptischen linearen Kongruenz (von Adams Spiralen-Mutterform genannt) sowie der allgemeinen imaginären Geraden durch eine von Gedanken geleitete Anschauung einzusteigen, entwarf er 1937 bis 1939 mehr als zwanzig ...
Die Geometrie der Wegkurven, das heißt der Spuren von kontinuierlichen projektiven Transformationen, bietet durch ihren Bewegungs- und Formenreichtum ein reiches Übungsfeld anschaulich-geometrischer Betrachtungen. Sie ist zudem die mathematische Grundlage für die mannigfachen Anwendungen solcher Kurven- und Bewegungssysteme auf Naturformen und Naturprozesse.
Nach einer Einführung in die wichtigsten Teile der räumlichen projektiven Geometrie befasst sich der Autor mit dem Linearen Komplex, der als relativ kompliziertes Gebilde im dreidimensionalen projektiven Raum, aber auch selbst wieder als Grundgebilde in einem fünfdimensionalen «Komplexraum» aufgefasst werden kann.
Wie gliedert sich der dreidimensionale projektive Raum durch die sich treffenden oder meidenden Geraden? Der Autor demonstriert, wie man aus dieser Frage zu einer überraschend einheitlichen Beschreibung von Regelscharen, Kongruenzen und Komplexen kommt und wie man die harmonische Lage und die Plückerschen Geradenkoordinaten direkt über die Treffrelation erhalten kann.
Ob Goethe nun die Mathematik geschätzt oder mangels Kenntnissen unterschätzt oder abgelehnt hat, wird nach wie vor unterschiedlich beurteilt. Klar ist jedenfalls, dass seine konkreten Kenntnisse gering waren. Er hatte jedoch trotz allem ein gutes Gespür für Aufgaben und Stellenwert der Mathematik. Die Untersuchung von Goethes Beziehung zur Mathematik ermöglicht eine genaue Reflexion seines ...
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Selbstreflexion
Studien zur Selbstbeziehbarkeit in Denken und Erkennen
Die Frage, ob sich das menschliche Denken selbst begründen kann oder durch neurophysiologische Vorgänge bedingt ist, wird nach wie vor in der gegenwärtigen Philosophie kontrovers diskutiert. Hier werden einige grundlegende Einwände gegen das Unternehmen einer Selbstaufklärung des Denkens besprochen und gezeigt, dass diese nicht haltbar sind. Dies gibt Anlass zu einer detaillierten ...
Mit der hier entwickelten Art der Morphologie wird eine Brückenbildung zwischen den detaillierten und konkreten Gestaltuntersuchungen der Kristallographen und den zur Verallgemeinerung hindrängenden Symmetrielehren der Mathematiker angestrebt. Dabei gewinnen einerseits die durch die geometrische Kristallmorphologie erarbeiteten Details eine strenge Ordnung und offenbaren sich als Spezialfälle ...
In der am besten bekannten Form der projektiven Geometrie stehen sich Punkt und Ebene als polare Gebilde gegenüber und sind zugleich die Elemente der Geometrie des Anschauungsraumes. Die Gerade als ein in sich polares Raumgebilde, deren polare Ausgestaltungen das Ebenenbüschel und die Punktreihe sind, kann selbst zum Raumelement erhoben werden. Aus Geraden bestehende, bei geeigneten projektiven ...
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Mathematik und Geisteswissenschaft
Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner
Elementare geometrische Übungen sollen die Leserinnen und Leser dieses Buches zu einer philosophisch vertieften Auseinandersetzung mit der Mathematik führen. Dazu wird Schritt für Schritt und von zahlreichen Abbildungen begleitet ein reichhaltiges Übungsmaterial durchwandert. Dieses ist vorallem geeignet zur Ausbildung der «exakten Phantasie» in Richtung des beweglichen Vorstellens und, ...
